Come studiare matematica?

La matematica è una delle discipline che, da sempre, gli alunni e i ragazzi in età scolare ritengono la più difficile, quella più ostica. Di solito, infatti, è lo spauracchio di qualunque studente, il quale è sicuro che non riuscirà mai ad avere un buon voto in questa materia.

La prima cosa da chiarire in merito alla matematica è che, purtroppo, è vero: questa disciplina è di gran lunga la più complessa fra tutte, ma non perché sia oggettivamente meno facile da capire. Il punto è che implica l’assunzione di un punto di vista completamente diverso, e di uno sforzo cerebrale non paragonabile a quello richiesto da altre materie. Se si studia la storia, ad esempio, l’immaginazione umana corre in aiuto permettendo di immaginare quanto si legge o viene spigato.

Può essere difficile ricordare le date a memoria, ma in linea di massima sarà semplice ricordare fatti e avvenimenti. In matematica il processo mentale è inverso: non si ha un dato da poter elaborare, ma si ha un problema da risolvere. La mente non trova alcun appiglio davanti ad una sequela di numeri e simboli, per questo si trova tanta difficoltà.

Come studiare bene la matematica, allora? Si tratta di un’impresa impossibile? Affatto: partendo dal presupposto che abbiamo enunciato, il primo requisito fondamentale è cambiare la propria forma mentale. Bisogna porsi con un’attitudine diversa davanti a questa materia, che è molto analitica ma anche rigorosa. Una volta appresi alcuni meccanismi di base, il resto sarà una conseguenza naturale. Per studiare matematica dalle basi è necessario porsi degli obiettivi, e non dei limiti di tempo.

Se per studiare letteratura o inglese si può decidere di dedicare una o due ore del proprio tempo e ottenere dei buoni risultati, quando si ha a che fare con formule e teoremi matematici non ci si può porre un limite temporale: questo, infatti potrebbe essere controproducente. Magari in quell’arco di tempo che ci siamo ritagliati non riusciremo a capire il teorema che stiamo studiando; bisogna quindi ribaltare la prospettiva. L’obiettivo da porsi è padroneggiare perfettamente una formula o un concetto, fino a che non si abbia tutto ben chiaro in testa. In questo modo si potranno ottenere dei risultati molto più concreti.

Lo studio della matematica da zero potrebbe spaventare perché non si ha alcun appiglio a cui appoggiarsi, nessun concetto pregresso che possa aiutare a sciogliere i primi nodi della materia, ma in realtà è la condizione migliore da cui partire. La mente del discente deve essere come un foglio bianco, privo di preconcetti, pronto ad assorbire ogni nuova nozione e a metterla nello spazio giusto. La matematica, infatti, ha un notevole pregio, spesso non adeguatamente apprezzato dagli studenti, ed è quello di essere estremamente rigorosa. Quando si è appreso un concetto, o una formula, il passo successivo nel processo di apprendimento non ne sarà altro che la naturale conseguenza.

Questo, però, presenta un altro lato della medaglia: in matematica non si può studiare e poi accantonare quanto imparato. Tutte le nozioni precedenti servono per capire quelle successive, ogni formula rappresenta il presupposto per un’altra formula. Più in generale, la forma logica di ragionamento che permette di risolvere uno specifico problema è la stessa che deve essere usata per risolvere qualunque altro quesito matematico. Quindi non è possibile, né si deve, cancellare dalla mente quello che si è già imparato ma, mentre si prosegue con il processo di conoscenza, bisogna costantemente ripassare il pregresso: questo è l’unico modo davvero efficace per studiare la matematica.

Una grande disciplina è quindi il presupposto essenziale per sapere come studiare matematica velocemente. Abbiamo detto che quando si studia la matematica non bisogna darsi dei limiti di tempo, perché quello che più conta è capire davvero a fondo l’argomento che si sta studiando piuttosto che farlo rapidamente. Ciò non vuol dire, però, che non si possa imparare come studiare matematica in poco tempo: la chiave di lettura è la disciplina.

Nel momento in cui si approccia un determinato argomento i passi da seguire sono sempre gli stessi: prima si studia la teoria, che quasi sicuramente rimarrà poco impressa e dirà poco o niente allo studente. Poi si devono analizzare casi concreti, e infine provare a mettere in pratica la teoria. I passi devono essere svolti esattamente in questo ordine, e infine la fase che deve essere ripetuta più e più volte è lo svolgimento degli esercizi. Solo la pratica può permettere di ricordare la teoria fino in fondo, e se si riesce a non divagare, a non perdersi in particolari, e nemmeno ad impuntarsi troppo sopra un problema che non si riesce a risolvere, il processo di apprendimento riuscirà ad evolvere in modo più rapido.

Quando si studia in classe, un grande aiuto viene offerto dalla spiegazione del professore, ma anche dalle interrogazioni dei propri compagni. Il professore che spiega non deve essere subito passivamente, ma deve essere interrotto continuamente per chiedere delucidazioni se non si è ben compreso qualcosa. Come abbiamo già detto la matematica segue dei processi molto rigorosi: perdere anche solo un passaggio potrebbe inficiare alla corretta comprensione dell’insieme.

Ecco perché non bisogna far finta di niente se ci è sfuggito qualcosa, ma sempre fare domande finché il concetto non viene posseduto fino in fondo. Le interrogazioni servono invece come ripasso, e anche gli errori altrui possono essere di grande aiuto per evitare di farli in prima persona e per meglio comprendere i meccanismi più intimi di un processo o di un’equazione. Molto importante è anche che il professore corregga gli esercizi che abbiamo svolto per allenamento.

Fare tanti esercizi, infatti, potrebbe risultare perfettamente inutile se poi non si ha un riscontro circa il procedimento che abbiamo utilizzato, al fine di capire se la soluzione che abbiamo trovato è davvero quella più giusta. Se invece abbiamo commesso degli errori, avere una correzione servirà a capire esattamente in cosa si è sbagliato, perché, e quindi a memorizzare il procedimento corretto.

Studiare matematica da autodidatta, è possibile?

Da quanto abbiamo detto fin qui si deduce che la presenza di un insegnante o, in generale, di un confronto che ci possa mostrare dove abbiamo sbagliato e ci spieghi la corretta soluzione degli esercizi che abbiamo svolto, è fondamentale.

Questo potrebbe voler dire che studiare matematica da autodidatta è impossibile, che nessuno di noi potrebbe essere in grado di penetrare fino in fondo questa materia se non con un supporto esterno? Ciò è vero solo in parte: nel senso che è necessario, per apprendere la matematica in modo approfondito, avere un riscontro esterno. Se nessuno corregge gli esercizi che abbiamo fatto è perfettamente inutile che li svolgiamo, perché non faremmo altro che reiterare costantemente gli stessi sbagli.

Ma questo riscontro non deve necessariamente essere cercato in un’aula o in una lezione frontale; o, al contrario, la lezione in aula potrebbe non essere altro che una fase nel nostro processo di apprendimento. Per sapere come studiare matematica da soli è quindi utile capire che il processo cognitivo che porta alla comprensione di un teorema matematico deve sempre percorrere gli stadi che abbiamo già illustrato. La primissima fase è quella puramente teorica: in questo stadio è utile la presenza di un professore che enunci il concetto astratto che sta dietro la risoluzione di un problema matematico, ma sono altrettanto utili le pagine di un libro che illustrano lo stesso concetto. La fase successiva passa attraverso l’applicazione pratica della teoria, e questa è la fase che può essere svolta in autonomia.

Per imparare la matematica e studiarla nel migliore dei modi non bisogna stare ore ed ore sui libri, come invece accade con altre materie: bisogna avere un buon eserciziario e continuare a ripetere gli esercizi relativi ad una formula fino a quando non si è certi che non la si è compresa fino in fondo.

Quindi studiare matematica da soli e apprenderla da autodidatti è decisamente possibile, perché basta fare e rifare tutti gli esercizi che vengono proposti dall’eserciziario fino a che non si sono compresi i meccanismi e fino a che le soluzioni che otteniamo non sono quelle giuste. Abbiamo anche detto, però, che è necessario che qualcuno corregga i nostri esercii, ovvero che qualcuno ci dica se abbiamo svolto il procedimento nel modo giusto, o se viceversa abbiamo commesso degli errori.

A questo scopo si possono seguire diverse strade. Il professore in aula è colui che è chiamato a correggere gli sbagli dei suoi alunni, al fine di far comprendere loro le procedure corrette. Se si studia da autodidatta, però, si può usare come supporto un buon eserciziario che includa anche le soluzioni degli esercizi che propone; infine, una terza opzione molto comoda che ci viene garantita dalle nuove tecnologie è quella di studiare matematica online. In rete, infatti, esistono diversi siti che permettono di svolgere degli esercizi matematici offrendo la soluzione in tempo reale e permettendo al discente di comprendere subito quali sono gli errori che ha commesso nella risoluzione. Spesso si tratta di sistemi interattivi molto efficaci perché garantiscono un supporto solido all’apprendimento teorico.

Anche se i supporti esterni, sia i professori che gli strumenti cartacei o digitali, sono di fondamentale importanza, lo è ancora di più, però, che lo studente sia davvero motivato a seguire il suo percorso. Molto spesso ad uno studente sfugge il nesso immediato tra la matematica e la sua vita quotidiana: una disciplina tanto difficile sembra avulsa dalla vita di tutti i giorni, quindi lo sforzo per apprenderla sembra inutile a fini pratici. Il primo aspetto su cui lavorare è quindi la propria motivazione: lo scopo per cui si desidera apprendere la matematica da soli deve esser molto forte, e deve passare dalla comprensione che, se non altro, studiare la matematica fornisce una forma mentis che può essere di insostituibile supporto in moltissimi frangenti della vita.

La logica razionale che si cela dietro la risoluzione dei più comuni problemi, e la consequenzialità con cui da una formula si passa ad un’altra con una logica stringente che non può essere aggirata in nessun modo, sono strumenti atti anche a leggere moltissime situazioni del reale e trovare loro una soluzione ottimale in base ai presupposti di partenza.

Ma non solo: si deve pensare che la matematica costituisce la base di numerose discipline, come l’economia o la finanza. Comprenderne davvero i meccanismi fornisce una chiave di lettura che in molti non possiedono e che potrebbe aprire corsie preferenziali. Infine, la matematica è la base dei linguaggi informatici, che al giorno d’oggi sono indispensabili. Lo sforzo più grande che deve compiere chi vuole studiare la matematica da autodidatta consiste nel capire che questa materia, a differenza di altre, non può essere studiata solo in modo mnemonico, vale a dire mandando a mende formule e concetti.

Le formule devono essere imparate a memoria, certo, ma non serviranno a niente se non le si è comprese nei loro meccanismi, nel loro funzionamento di base. Resterebbero nient’altro che enunciati vuoti e non sarebbe possibile usarle per fare alcunché. Quindi, lo studio della matematica richiede una partecipazione attiva da parte dello studente, che deve essere curioso e deve fare molte domande. Se si studia da autodidatta questi quesiti possono essere risolti con il supporto di un libro, di un sito web; se poi si studia da soli ma parallelamente si segue un corso frontale, il docente sarà in grado di sciogliere qualunque dubbio.

Anche quando si chiedono delucidazioni, però, non basta ascoltare, ma bisogna memorizzare in modo attivo quello che viene detto, integrandolo con le conoscenze che già si possiedono per creare nella propria mente il quadro completo che consentirà di eseguire con successo tute le formule matematiche che si vanno apprendendo poco alla volta.

Trucchi per andare bene in matematica

Per uno studente che vorrebbe semplicemente sapere come prendere 6 in matematica tutto quello che è stato scritto sopra potrebbe sembrare insufficiente, e avrebbe sempre paura di continuare ad andare male in matematica senza riuscire a conseguire l’agognata promozione. A questo punto è bene spiegare che ci sono dei trucchi che possono aiutare ad imparare la materia senza troppe difficoltà, trucchi che non sono né scorciatoie né modi per aggirare la sorveglianza del professore, ma solo metodi che aiutano la memoria, che stimolano la comprensione, e che aiutano a razionalizzare lo studio così da ottimizzare i risultati.

La prima cosa da tenere presente su come apprendere la matematica è che non si tratta di una impresa impossibile: non c’è nessun essere umano che non possieda la capacità di base di apprendere i concetti matematici. Quindi, uno studente non deve mai pensare di essere troppo “stupido” per capire la materia: questo vorrebbe dire rinunciare in partenza, partire con il piede sbagliato. Con un pensiero simile in testa davvero diventerà impossibile apprendere la matematica, ma se ci si ripete che, con il metodo giusto, anche le formule più astruse potranno diventare di facile dominio, ecco che il percorso comincerà in discesa.

Il secondo trucco da tenere a mente è quello di sfruttare il più possibile il docente che si ha accanto, che sia il professore in aula o un docente privato. Bisogna fare tante domande, interromperlo mente spiega se qualcosa non ci è chiaro. Non si deve essere timidi, il professore non si offenderà: il suo compito è proprio quello di farsi capire, e noi dobbiamo raggiungere questo obiettivo tramite il suo ausilio. Quando il professore spiega bisogna dunque ascoltare con attenzione, interromperlo se qualcosa non è chiaro, e poi prendere continuamente appunti su quello che sta dicendo. Prendere appunti nel modo giusto è di fondamentale importanza: non bisogna limitarsi a scrivere quello che il docente sta dicendo, ma rielaborarlo mentalmente e poi metterlo giù con parole proprie. In questo modo si farà una prima assimilazione del concetto, e una volta a casa, leggendo gli appunti, sarà molto più facile rievocarlo alla mente. Gli appunti sono la base sulla quale studiare una volta a casa, insieme al libro di testo. Gli appunti e i libri di testo devono sempre essere confrontati per vedere se il concetto che si è compreso in aula corrisponde a quello che c’è scritto sul libro.

Se ci sono delle discrepanze bisogna scrivere tutti propri dubbi e poi chiedere al professore di fare chiarezza. Il libro di testo è utile per l’apprendimento delle formule matematiche in quanto tali. Anche se, come abbiamo più volte ripetuto, la matematica va capita e non studiata a memoria, qualcosa da memorizzare in modo meccanico c’è, e sono proprio le formule. Prima vanno imparate a memoria, e poi capite. A quel punto, non sarà difficile rammentarle all’occorrenza.

Da questo punto di vista il libro di testo non deve essere sottovalutato, né bistrattato: costituisce uno strumento fondamentale per il corretto apprendimento della matematica. Questi volumi sono scritti dai massimi esperti del settore, persone che hanno studiato problemi ed equazioni per tutta la vita. Inoltre sono pensati per un pubblico di discenti: il che vuol dire che sono scritti nel modo più semplice ed intuitivo che sia possibile, così che la materia possa risultare chiara anche a chi è appena alle prime armi. Il libro va letto e riletto, sottolineato e appuntato con note ai margini.

Se qualcosa non è chiaro, c’è sempre il professore a cui chiedere. A fianco del brano che risultava ostico, poi, bisognerà scrivere la spiegazione con le parole che ci sono più comprensibili. In ogni caso, nel processo di apprendimento della matematica bisogna sempre ricordare che la mente deve essere sfruttata al massimo, sia per le sue capacità puramente mnemoniche che per quelle di comprensione avanzata. La matematica, come abbiamo appena spiegato, è fatta di entrambe questi aspetti: alcune cose devono solo essere apprese a memoria, altre invece devono essere comprese in profondità. I due procedimenti procedono affiancati, l’uno senza l’altro non sarà mai completo. Spieghiamo ora qual è la procedura corretta per svolgere gli esercizi che il professore assegna come compiti in classe o a casa, o che si trovano sull’eserciziario.

La prima cosa da ricordare è che non ci si deve mai far prendere dalla fretta: la comprensione passa dal ragionamento, e il ragionamento deve essere svolto con mente lucida, senza fretta e prendendo tutto il tempo che serve. Quindi, per prima cosa bisogna leggere attentamente l’esercizio e iniziare a capire quali sono le formule e i concetti che servono per la sua risoluzione Se si tratta di un compito a casa, a questo punto è anche possibile prendere il libro di testo per ripassare la parte teorica che ci serve per risolvere il problema. A questo punto bisogna leggere l’esercizio un’ultima volta e si può cominciare a provare a risolverlo.

La procedura di risoluzione deve essere fatta con calma, passaggio dopo passaggio: saltarne anche solo uno potrebbe infatti inficiare l’intero risultato. Una volta portato a termine l’esercizio è molto importante verificare il risultato e, se è sbagliato, capire il punto in cui è stato commesso l’errore. Il giorno prima di un compito in classe di matematica, o di un’interrogazione, è fondamentale ripassare, lo sappiamo tutti, ma con la matematica il ripasso dovrebbe essere una norma costante, e non attuato solo in vista di una prova scritta o orale.

Come abbiamo detto, in matematica tutto è strettamente interconnesso: concetti studiati in passato sono comunque alla base di quello che si sta studiando oggi. Quindi avere sempre bene in mente il quadro generale può fare una fondamentale differenza tra un buon voto e un cattivo voto. Se uno studente segue tutti questi consigli, ovvero studia con costanza, segue con attenzione in aula e fa domande se non capisce, svolge i suoi esercizi, ripassa di continuo anche il pregresso, sicuramente avrà molte meno difficoltà nello studio della matematica.

Quando deve affrontare una prova in aula, l’importante è che mantenga il sangue freddo: farsi prendere dall’emozione, o dal timore di non ricordare qualcosa, non potrebbe avere altro effetto che fargli dimenticare tutto quello che sa e quindi fallire la prova. Per sapere come andare bene in matematica allo scientifico, quindi, non si deve fare altro che imporsi una disciplina molto rigorosa ma non faticosa. La matematica deve essere un impegno quotidiano, basta dedicare anche poco tempo al giorno per aiutare la mente a imprimere bene i concetti di base.

In realtà è molto meglio studiare poco, ogni giorno, che fare una full immersion di molte ore una volta sola prima di un compito: questo è viceversa il modo più sbagliato di studiare matematica. Studiando tutto insieme la mente verrà intasata da troppe nozioni contemporaneamente e difficilmente riuscirà a padroneggiarle come dovrebbe. Potrebbe capitare che un precedente fallimento possa far pensare allo studente di non essere portato per la matematica, e che quindi non riuscirà mai a recuperare il suo svantaggio. Da quello che abbiamo spiegato si capisce invece come la non comprensione della matematica possa avere un’unica spiegazione, ovvero uno scorretto approccio metodologico allo studio della materia.

Quindi chiunque, con i giusti supporti e i giusti metodi, può comprendere i concetti e le teorie che ci sono dietro questa materia, per poi riuscire ad applicarle in pratica nella risoluzione di problemi ed equazioni. Tutto quello che serve è qualcuno che indichi la strada da seguire, che offra gli strumenti più adeguati e all’avanguardia, e che affianchi il percorso del discente fino a che non sia completamente padrone della materia. Una volta superato lo scoglio iniziale ed acquisita la metodologia giusta, lo studio della matematica apparirà molto più semplice di quanto non potesse sembrare in un primo momento, e la sua conoscenza, in seguito, sarà di grande aiuto non solo per avere buoni voti a scuola, aspetto che in fondo è il meno importante, ma per avere utili strumenti nella vita quotidiana una volta finita la scuola.